1 Was bedeutet "unendlich"?

1.1 Wie viele natürliche Zahlen gibt es?
1.2 Beispiele für abzählbare Mengen
1.3 Gibt es noch größere Mengen?

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Die folgenden Ausführungen sollen Ihre mathematische Allgemeinbildung auf einen solchen Stand bringen, dass Sie zumindest die Voraussetzungen dafür haben, den in den folgenden Abschnitten dargestellten Überlegungen mit Verständnis folgen und ihre Tragweite erfassen zu können.



1.1 Wie viele natürliche Zahlen gibt es?

Kein Schüler wird je lange zögern, zu sagen, dass es "unendlich viele" natürliche Zahlen gibt. Was aber ist damit eigentlich genau gemeint? Ist "unendlich" ein wohldefinierter mathematischer Begriff? Oder ist das nur eine mathematische Ausrede?

Zunächst einmal sind jedem von uns die natürlichen Zahlen recht vertraut. Sie begleiten uns schon, solange wir zurückdenken können, weshalb sie manchmal auch als "Kindergartenzahlen" bezeichnet werden. Gleichzeitig berühren sie aber auch die geheimnisvolle Sphäre des Unendlichen: der von jedem Kind nachvollziehbare Zählprozess

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,......

kommt notwendigerweise nie zu einem Ende. Es gibt also keine "größte natürliche Zahl", was wir durch die Pünktchen oben andeuten. Damit findet man sich dann ab, indem man sagt: "Es gibt eben unendlich viele natürliche Zahlen." Allerdings enthält dieser Satz auch einige Resignation, fasst er doch unsere Unfähigkeit zur kompletten Übersicht über die Menge N der natürlichen Zahlen in Worte.

Wieviel Sprengstoff der Begriff "unendlich" enthält, wird spätestens dann klar, wenn im Mathematik-Unterricht der Zahlbegriff erweitert wird. Sie kennen die Menge Z der ganzen Zahlen, die wir üblicherweise so darstellen:

....-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,....

Auf den ersten Blick scheint diese Menge mehr Elemente zu enthalten als die Menge N der natürlichen Zahlen, kommt doch jedes Symbol aus N zweimal in Z vor: einmal ohne und einmal mit einem Minuszeichen! Und außerdem gibt es noch die "0". Das stärkste Argument aber ist die Tatsache, das Z nach zwei Seiten hin "unendlich" ist, während N nur nach einer Seite unbeschränkt ist.

Daher ist es üblicherweise ein Schock, wenn eines Tages der Mathematiklehrer behauptet, dass es in einem gewissen Sinne genau so viele natürliche wie ganze Zahlen gibt, dass also die Mengen N und Z "gleichmächtig" sind. Diesem Gedanken liegt die folgende Definition zugrunde:

Zwei Mengen M1 und M2 heißen genau dann gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt, also eine umkehrbare Abbildung, die eindeutig jedem Element x aus M1 genau ein Element y aus M2 zuordnet.

Wenn wir nach dieser Definition nachweisen sollten, dass die beiden Mengen M1 = {2, 3, 5, 7, 11} und M2 = {Ma, D, E, Ph, Ch} gleichmächtig sind, dann müssen wir eine bijektive Abbildung zwischen diesen beiden Mengen konstruieren. Die folgende Tabelle zeigt eine Möglichkeit:

x Î M1 2 3 5 7 11
y Î M2 Ma D E Ph Ch


Gerade bei endlichen Mengen ist aber ein Verfahren einfacher, das darin besteht, die beiden Mengen "abzuzählen". Was meint man eigentlich damit? Nun, man "zählt eine Menge ab", indem man ihre Elemente auf die Serie der natürlichen Zahlen (beginnend mit "1") abbildet. Für die obige Menge M1 bedeutet dies z.B.:

x Î M1 2 3 5 7 11
n Î N 1 2 3 4 5


Wenn man dabei zu einem Ende kommt, nennt man die letzte der verwendeten natürlichen Zahlen (hier also die "5") die Anzahl der Elemente von M1. Die Anzahl der Elemente von M1 ist also 5. Wenn man nun M2 auf dieselbe Weise untersucht, stellt man fest, dass auch diese Menge 5 Elemente enthält. Und wenn zwei Mengen gleich viele Elemente haben, dann sind sie gleich groß.


Aber was ist, wenn man nicht zu einem Ende kommt? Nun, wenn es gelingt, zwischen einer Menge M und den natürlichen Zahlen eine bijektive Abbildung herzustellen (d.h. "die Elemente von M durchzunummerieren"), dann weiß man immerhin, dass M und N gleichmächtig sind. In diesem Falle nennt man die Menge M "abzählbar unendlich":

Eine Menge M heißt genau dann abzählbar unendlich, wenn sie gleichmächtig ist zur Menge N der natürlichen Zahlen.

Sind nun N und Z wirklich gleichmächtig? Die folgende Tabelle stellt eine geeignete bijektive Abbildung hervor und illustriert damit den Vorgang des "Abzählens" der ganzen Zahlen:

n Î N 1 2 3 4 5 6 7 .. .. 2k 2k+1 .. .. ..
z Î Z 0 1 -1 2 -2 3 -3 .. .. k -k .. .. ..


Damit wird also eindeutig jeder natürlichen Zahl n eine genau bestimmte ganze Zahl z zugeordnet. Und jedes z aus Z kommt in der Liste der Bilder vor: jeder ganzen Zahl aus Z ist also eine natürliche "Nummer" aus N zugeordnet! Daraus folgt, dass Z und N gleichmächtig sind, dass es also "genau so viele ganze wie natürliche Zahlen gibt"!

Die obige Definition des Begriffes "gleichmächtig" ist konstruktiv: sie liefert uns ein Verfahren, mit dem wir testen können, ob zwei Mengen "gleichmächtig" sind, was nicht mehr als der mathematische Fachausdruck ist für die umgangssprachliche Formulierung dass sie "gleich groß" sind. Allerdings bleibt dabei die Aufgabe der Konstruktion einer geeigneten bijektiven Abbildung unserer mathematischen Phantasie überlassen. Den Nachweis der Gleichmächtigkeit der Mengen Z und N können wir nur führen, wenn wir "eine gute Idee" haben - und die Produktion "guter Ideen" lässt sich (leider?) nicht algorithmisieren!



Aufgaben:


  1. Gute Ideen

    Worin besteht die "gute Idee" der obigen Abbildung zwischen N und Z?
    Formulieren Sie genau!
    [Lösungsvorschlag]


  2. Wie geht's konkret?

    Geben Sie die in der obigen Tabelle dargestellte bijektive Abbildung zwischen N und Z explizit an, indem Sie sowohl die Abbildung n z = z(n) als auch die Umkehrabbildung z n = n(z) genau aufschreiben.
    [Lösungsvorschlag]


  3. Additivität von Anzahlen

    Für eine endliche Menge M bedeute #M die Anzahl der Elemente von M. Konstruieren Sie zwei Mengen M1 und M2, die zeigen, dass die Rechenregel
    #(M1 È M2) = #M1 + #M2
    im Allgemeinen falsch ist. Für welchen Spezialfall gilt sie?
    Formulieren Sie eine entsprechende richtige Rechenregel für die Additivität von Anzahlen im allgemeinen Fall!
    [Lösungsvorschlag]





1.2 Beispiele für abzählbare Mengen

Zunächst einmal sind natürlich alle endlichen Mengen abzählbar. Das ist nach der obigen Beschreibung des Abzählungsprozesses klar.

Weiter ist zum Beispiel die Menge G der geraden Zahlen abzählbar. Daraus folgt aber sofort, dass es "genau so viele" gerade Zahlen wie natürliche Zahlen gibt - obwohl nur jede zweite natürliche Zahl eine gerade Zahl ist! Ist das nicht ein Widerspruch? Und was soll eigentlich "genau so viele" im Falle unendlicher Mengen bedeuten? Bei zwei endlichen Mengen M1 und M2 ist klar, dass sie genau dann gleich groß sind, wenn die Anzahl der Elemente in M1 gleich der Anzahl der Elemente in M2 ist. Im Falle unendlicher Mengen haben wir aber für die Anzahlen keine passenden natürlichen Zahlen zur Verfügung. Dann bleibt uns nur die Möglichkeit, die Aussage "M1 enthält genau so viele Elemente wie M2" als "M1 und M2 sind gleichmächtig" zu präzisieren, was nach Definition auf die Konstruktion einer bijektiven Abbildung zwischen den Mengen hinausläuft.

Die für endliche Mengen intuitiv einsichtigen Schlussweisen und Rechenregeln sind also nicht so ohne weiteres auf unendliche Mengen übertragbar, wie auch das folgende Beispiel lehrt:
Offenbar ist neben der Menge G der geraden Zahlen auch die Menge U der ungeraden Zahlen abzählbar. Wieviele Elemente erhalten wir nun, wenn wir diese beiden Mengen vereinigen? Nun, die Vereinigung von G und U ergibt gerade wieder die Menge N der natürlichen Zahlen, also erhalten wir wieder abzählbar viele Elemente - und nicht "2*(abzählbar viele)", wie man aufgrund der Rechenregeln für endliche Mengen erwarten würde.

Lassen Sie uns nun noch einen ziemlich erstaunlichen Satz beweisen:

Die Menge B der Bruchzahlen ist abzählbar.

Im Klartext: es gibt nicht mehr Bruchzahlen als natürliche Zahlen! Das ist eine ungeheuerliche Behauptung, da wir ja wissen, dass es ja schon zwischen 0 und 1 unendlich viele Bruchzahlen gibt! Und dazu kommen nun noch alle Bruchzahlen aus den unendlich vielen Intervallen [n; n+1] für alle n Î N! Wenn wir den Zahlenstrahl betrachten, verlangt die Anschauung unbedingt, dass es sehr viel mehr Bruchzahlen gibt als natürliche Zahlen!

Diese Erwartung wird auch dadurch gestützt, dass eine Bruchzahl b sich ja immer als Quotient (z/n) darstellen lässt, mit passenden natürlichen Zahlen z und n. Also haben wir bei der Auswahl einer "beliebigen" Bruchzahl b zwei "Freiheitsgrade" (= Wahlmöglichkeiten), während wir bei der Auswahl einer beliebigen natürlichen Zahl n nur einen Freiheitsgrad haben. Folglich erwarten wir, dass es sehr viel mehr Bruchzahlen als natürliche Zahlen gibt.

Der Mathematiker Georg Cantor (1845-1918), der als der eigentliche Konstrukteur der Mengenlehre gilt, entwickelte ein berühmt gewordenes Verfahren, mit dem sich zeigen lässt, dass die Menge B der Bruchzahlen abzählbar ist. Was musste er dazu tun? Nun, die Aufgabe besteht darin, jeder möglichen Bruchzahl eine "Nummer" zu verpassen! Dazu schreibt Cantor erst mal alle Brüche hin:

z/n 1 2 3 4 5 6 7 8 ..
1 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 7/1 8/1 ..
2 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 .. ..
3 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 .. ..
4 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 7/4 .. ..
5 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 .. ..
6 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/6 .. ..
7 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 .. .. ..
8 1/8 .. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

Nach rechts werden also alle möglichen Zähler aufgetragen, nach unten alle möglichen Nenner. Die Tabelle ist nach rechts und unten offen, weil es ja unendlich viele möglichen Zähler und Nenner gibt.

Eine erste Betrachtung der Tabelle scheint die obigen Einwände gegen die Abzählbarkeit der Bruchzahlen zu bestätigen: schon in der ersten Datenzeile der Tabelle stehen alle natürlichen Zahlen, also abzählbar unendlich viele! Und in jeder Zeile kommen nochmals abzählbar viele neue Bruchzahlen dazu - obwohl doch schon für die erste Zeile alle möglichen "Nummern" verbraucht wurden!

Es scheint offensichtlich, dass die Bruchzahlen nicht abzählbar sind. Man braucht schon die Genialität eines Georg Cantor, um in dieser Situation doch noch einen Weg zum Nachweis der Abzählbarkeit zu finden. Cantor lässt sich nun gerade nicht dazu verleiten, die Tabelle zeilenweise durchzählen zu wollen! Stattdessen zählt er die Bruchzahlen längs der Serie der senkrecht zur Hauptdiagonalen verlaufenden (Neben-)Diagonalen ab. Auf einer solchen Diagonalen stehen alle Brüche, für die die Summe aus Zähler und Nenner einen konstanten Wert ergibt. Betrachten wir als Beispiel die Diagonale, die mit 1/5 beginnt: sie enthält die Brüche {1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1} und hat somit genau 5 Elemente. Analog hat die Diagonale, die mit 1/3 beginnt, nur 3 Elemente, nämlich {1/3, 2/2, 3/1}. Allgemein hat die in 1/k beginnende Diagonale k Elemente. Die dadurch nahegelegte Abzählung der Bruchzahlen ergibt also folgende Liste:

Und es ist klar, dass in dieser Aufzählung jeder Bruch erfasst werden wird. Mit Hilfe dieser Liste sind wir nun imstande, jedem Bruch eine eindeutige "Cantor-Nummer" zuzuweisen. Damit ist gezeigt, dass es eine bijektive Abbildung zwischen der Menge B der Brüche und der Menge N der natürlichen Zahlen gibt. Also sind B und N gleichmächtig und damit die Menge der Brüche abzählbar. Kaum zu glauben, aber wahr!

Cantor's Beweis stellt also sicher, dass man beim Zusammenfassen der abzählbar unendlich vielen Zeilen der obigen Tabelle, von denen jede ihrerseits abzählbar endlich viele Einträge enthält, wieder nur eine abzählbare Menge erhält. Allgemein gilt der folgende mächtige Satz:

Die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist abzählbar.




Aufgaben:


  1. Cantor's Nummern für Brüche

    Können Sie zum Bruch (z/n) mit natürlichen Zahlen z und n die zugehörige "Cantor-Nummer" c angeben? Das ist nicht ganz einfach, aber mit einigermaßen soliden Kenntnissen der Arithmetik und einer ordentlichen Formelsammlung sollten Sie einen Term für c = c(z,n) konstruieren können!
    (Das umgekehrte Problem ist übrigens deutlich schwerer zu lösen, weshalb wir hier darauf verzichten wollen.)
    [Lösungsvorschlag]


  2. Fingerübung für angehende Mathematiker

    Beweisen Sie, dass die Menge Q der rationalen Zahlen abzählbar ist.
    Zur Erinnerung: Jede rationale Zahl q lässt sich schreiben als q = (z/n) mit einem geeigneten z Î Z und einem passenden n Î N.
    Was also ist hier eigentlich noch zu zeigen?
    [Lösungsvorschlag]


  3. Kritik an Cantor

    Fritzchen Pfiffig hat Einwände gegen die Argumentation des obigen Beweises zur Abzählbarkeit der Bruchzahlen: "Da kommt ja jede Bruchzahl mehrfach in der Abzählung vor. Also sind die Nummern nicht eindeutig, und die Abbildung nicht bijektiv." Ist die Kritik berechtigt? Nehmen Sie Stellung!
    [Lösungsvorschlag]





1.3 Gibt es noch größere Mengen?

Zunächst scheint das eine komische Idee zu sein: gibt es Mengen, die noch mehr Elemente enthalten als es natürliche Zahlen gibt? Das erscheint eher unwahrscheinlich. Schüler bringen es gelegentlich so auf den Punkt: "Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, und mehr als unendlich geht nicht!" Speziell nachdem es uns gelungen ist, die rationalen Zahlen abzuzählen, ist das Vertrauen in die allgemeine Abzählbarkeit unendlicher Mengen doch erheblich gestiegen.

Haben wir das nicht oben ausführlich bewiesen? Die Vereinigung zweier abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar, ja selbst wenn wir abzählbar unendlich viele solche Mengen zusammenwerfen, erhalten wir wieder nur eine abzählbare Menge! Aber: das ist kein Beweis dafür, dass es nicht doch eine Menge geben kann, die mehr als abzählbar unendlich viele Elemente enthält. Beachten Sie, dass wir bei all den obigen Argumentationen stets nur von abzählbaren Mengen ausgegangen sind! Dass ich bisher nur Fahrräder mit 2 Rädern gesehen habe, ist noch kein Beweis dafür, dass alle Fahrräder 2 Räder haben! Und schließlich kennen Sie zumindest ein Beispiel für eine Menge mit mehr als abzählbar vielen Elementen schon seit langem, wenngleich Sie das möglicherweise noch nie zu Kenntnis genommen haben: es ist die Menge R der reellen Zahlen.

Wodurch unterscheiden sich eigentlich die reellen von den rationalen Zahlen? "Ö2" muss im Mathematik-Unterricht immer als Kronzeuge dafür herhalten, dass es "wirklich richtige Zahlen" gibt, die sich nicht als Brüche schreiben lassen. Das ist schon schwer einzusehen, und die Folgen sind meist nicht ganz so klar. Rekapitulieren wir also erst mal, was wir sonst noch alles über reelle Zahlen wissen:

Jede reelle Zahl hat eine Dezimalbruch-Entwicklung, und diese ist sogar eindeutig, wenn wir die "Periode 9" verbieten. Die Dezimaldarstellung war schon bei einigen rationalen Zahlen nicht ganz einfach, weil sie gelegentlich nicht abbricht; dann ist sie aber schlimmstenfalls periodisch, so dass die zu beschreibende Zahl doch nach der Angabe endlich vieler Stellen eindeutig festgelegt ist (wenn man noch gegebenenfalls dazusagt, wo die Periode anfängt). Auch irrationale Zahlen lassen sich in Dezimalbruch-Schreibweise darstellen; allerdings ist ihre Dezimalbruchentwicklung weder abbrechend noch periodisch. Das macht sie ziemlich unhandlich: schreiben Sie doch mal die nichtperiodische und nichtabbrechende Dezimalbruchentwicklung solch einer irrationalen Zahl hin, dann werden Sie schon merken, dass das ganz schön aufwändig ist ;-)

Die reellen Zahlen sollen nun also als Beispiel dienen für eine Menge, die mehr als abzählbar viele Elemente hat. Dabei genügt es, wenn wir nur einen kleinen Ausschnitt aus dem ganzen Spektrum der möglichen reellen Zahlen antreten lassen - wir brauchen gar nicht alle! Wir wollen also einsehen, dass gilt:

Die Menge der reellen Zahlen im Intervall [0;1[ ist nicht abzählbar.

Die seltsame Schreibweise für das Intervall bedeutet, dass die linke Grenze (also 0) zum Intervall dazugehört, die rechte (also 1) hingegen nicht. Um nun zu zeigen, dass dieses Intervall schon mehr als abzählbar viele reelle Zahlen enthält, nehmen wir mal an, irgend jemand hätte es geschafft, diese Zahlen abzuzählen. Zum Beweis übergibt er uns eine lineare Liste, in der alle reellen Zahlen aus diesem Intervall aufgeführt sind. Da in [0,1[ alle Dezimalbruchentwicklungen mit "0,..." anfangen, interessieren wir uns hier nur für die Nachkommastellen. Damit könnte die Liste z.B. so anfangen:

7 8 5 3 9 8 1 6 .. ..
7 0 7 1 0 6 7 8 .. ..
3 3 3 3 3 3 3 3 .. ..
5 0 0 0 0 0 0 0 .. ..
1 4 2 8 5 7 1 4 .. ..
5 5 5 5 5 5 5 5 .. ..
1 1 2 1 2 3 1 2 .. ..
0 1 9 2 8 3 7 4 .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ..


Erkennen Sie die Zahlen wieder? Die erste Zeile enthält p/4, die zweite Ö(2), die nächsten beiden kennen Sie selbst, dann kommt (1/7) usw.usf. Der Platz auf dieser Seite langt nicht für die komplette Liste, aber wir stellen uns vor, dass wir sie vollständig vorliegen hätten.

Nun brauchen wir wieder eine gute Idee. Da wir selbst nicht so genial sind wie Cantor, lassen wir uns von ihm beraten: er hat einst an dieser Stelle des Gedankengangs die Dezimalbruchentwicklung einer reelle Zahl W aus dem Intervall [0;1[ konstruiert, die mit Sicherheit in der Liste nicht vorkommen kann. Wir halten uns hier genau an die Regie-Anweisungen von Cantor:
Wenn wir so durch die ganze Liste hindurchgehen, ist sichergestellt, dass sich W in mindestens einer Ziffer von jeder der Zahlen aus der Liste unterscheiden muss. Mithin ist W also eine reelle Zahl, die in der Liste nicht vorkommt. Also kann die Liste nicht alle reellen Zahlen umfassen!

Da dieser Gedankengang auf jede mögliche (behauptete) Abzählung der reellen Zahlen anwendbar ist, müssen wir nun zwingend folgern, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar sind. Es gibt also mehr als abzählbar unendlich viele reelle Zahlen im Intervall [0;1[ ! Q.E.D.


Wenn Sie nun meinen, auf dieses eine W käm's ja wohl nicht an, und die meisten Zahlen werden schon schön rational sein, dann täuschen Sie sich gewaltig! Sie wissen, dass die rationalen Zahlen aus [0;1[ abzählbar sind. Wenn nun die irrationalen Zahlen aus diesem Intervall auch abzählbar wären, dann wäre auch die Vereinigung dieser beiden Teilmengen abzählbar - im Widerspruch zum obigen Beweis! Der einzige Ausweg ist, dass es schon überabzählbar viele irrationale Zahlen in [0;1[ gibt, also mehr als es rationale gibt!

Eine genauere Betrachtung liefert, dass die Anzahl der irrationalen Zahlen gigantisch viel größer ist als die der rationalen. Man kann das ahnen, wenn man sich klar macht, dass bei dem obigen Konstruktionsprozess von W der Spielraum für die Wahl der jeweils nächsten Ziffer eigentlich sehr viel größer ist: der Einfachheit halber haben wir für unsere nächste Stelle b jeweils die "Nachfolger-Ziffer" des Hauptdiagonalen-Eintrags a genommen, aber wir hätten für b ebenso gut jede andere Ziffer außer a nehmen können! Nach der Abarbeitung der ersten k Zeilen der Tabelle haben wir erst k der aufgezählten Zahlen "verbraucht", aber es gibt schon (fast) 9k mögliche Werte für die Zahl W!

Die Menge R der reellen Zahlen ist also riesig gegenüber der Menge Q der rationalen Zahlen, eben weil es so viele irrationale Zahlen gibt. Also gibt es durchaus Mengen, die mehr als abzählbar viele Elemente haben! Es gibt also verschiedene "Stufen von unendlich", aber wir wollen's nun mal dabei belassen, dass wir zwei dieser Stufen kennengelernt haben.






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