
Teil a)

  Einerseits ist    (14 + 17) mod 12 = 31 mod 12 = 7,
  und andererseits: (14 mod 12) + (17 mod 12) = 2 + 5 = 7,
  was also zunchst einmal dafr spricht, dass die angegebene 
  Gleichung gilt.

  Das zweite Beispiel:
  (21 + 17) mod 12 = 38 mod 12 = 2, 
  aber andererseits:
  (21 mod 12) + (17 mod 12) = 9 + 5 = 14
  Die Gleichung stimmt also doch nicht immer! Das Beispiel zeigt
  aber auch, warum sie manchmal nicht stimmt: die Summe der rechten
  Seite kann durchaus grer werden als 11! Wir mssen also die 14 
  noch modulo 12 reduzieren, dann stimmt's!

  Die allgemeine Regel lautet also:
  (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n


Teil b)
  
  Die allgemeine Regel fr die Multiplikation lautet:
  (a * b) mod n = [(a mod n) * (b mod n)] mod n

  Ein Beispiel mit den Zahlen aus a):
  Einerseits:    (14 * 17) mod 12 = 238 mod 12 = 10,
  Andererseits:  (14 mod 12) * (17 mod 12) mod 12 = (2 * 5) mod 12
                 = 10 mod 12 = 10


Teil c)

  Hier nur der Beweis fr die "Produkt-Regel":

  a mod n = c ist quivalent zu a = f*n + c
  b mod n = d ist quivalent zu b = g*n + d

  Linke Seite:

  (a * b) mod n = (f*n + c) * (g*n + d) mod n =
  (f*g*n*n + d*f*n + c*g*n + c * d) mod n =

  Die ersten drei Summanden sind aber Vielfache von n, also "= 0 mod n",
  sodass nur brig bleibt:

  = c * d mod n  
  
  Rechte Seite:
  
  (a mod n) * (b mod n) mod n = c * d mod n

  q.e.d.

  Aber fr die Summe sollten Sie's nun wirklich selber schaffen!     